Mencari Persamaan Lingkaran Melalui 3 Titik

Belajar lingkaran memang banyak banget yang dibahas, mulai dari SD dulu kita mengenal bentuk lingkaran, unsur-unsurnya, rumus keliling, rumus luas, hubungan dengan segitiga, garis persekutuan lingkaran sampai persamaan lingkaran. Nah, di artikel ini saya akan membahas mengenai cara mencari persamaan lingkaran yang sudah diketahui 3 titik yang melaluinya.
Ok, kita mulai dengan contoh soal :
Carilah persamaan lingkaran yang melalui titik A (0,2), B (3,3) dan C (6,2) !
Nah, cara mencarinya adalah sebagai berikut :

1. Anggap lingkaran tersebut tidak berpusat di (0,0) sehingga bentuk umumnya adalah (x-a)² + (y-b)² = r²
2. Setelah itu buat persamaan dari masing-masing titik dengan cara mensubtitusikan setiap titik pada bentuk umum tersebut sehingga didapat 4 variabel yaitu a², b², a, b dan r²
3. Caranya adalah sebagai berikut:
   • Titik A (0,2) disubtitusikan ke bentuk umum menjadi:
     (0-a)² + (2-b)² = r² lalu dijabarkan menjadi bentuk:
     a² + b² - 4b + 4 = r²........................(1)
   • Titik B (6,2) disubtitusikan ke bentuk umum menjadi:
     (6-a)² + (2-b)² = r² lalu dijabarkan menjadi bentuk:
     a² + b² - 12a -4b + 40 = r²........................(2)
   • Titik C (3,3) disubtitusikan ke bentuk umum menjadi:
     (3-a)² + (3-b)² = r² lalu dijabarkan juga menjadi bentuk:
     a² + b² - 6a - 6b + 18 = r²........................(3)
4. Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi a², b² dan r², caranya adalah sebagai berikut:
   • dari persamaan (1) dan persamaan (2) eliminasi a², b² dan r²
     a² + b² - 4b + 4 = r²
     a² + b² - 12a -4b + 40 = r²

     ---

     12a - 36 = 0
     12 = 36
     a = 3 .....................(4)
   • dari persamaan (2) dan persamaan (3) eliminasi a², b² dan r²
     a² + b² - 12a -4b + 40 = r²
     a² + b² - 6a - 6b + 18 = r²

     ---

     -6a + 2b + 22 = 0
     -6a + 2b = -22 ..................(5)
   • Subtitusikan persmaan (4) ke persamaan (5), didapat:
     -6(3) + 2b = -22
     -18 + 2b = -22
     2b = -4
     b = -2
   • Dengan nilai a = 3 dan b = -2 kita subtitusikan ke persamaan (1) untuk memperoleh nilai r², yaitu:
     a² + b² - 4b + 4 = r²
     3² + (-2)² - 4(-2) + 4 = r²
     9 + 4 + 8 + 4 = r²
     25 = r²
     Didapat r² = 25.
5. Jadi, didapatkan a = 3, b = -2 dan r² = 25 dengan nilai ini masukkan ke dalam bentuk umum (x-a)² + (y-b)² = r²
Maka didapatkan: (x-a)² + (y-b)² = r² (x-3)² + (y+2)² = 25; Jadi persamaan lingkarannya adalah : x² + y² - 6a + 4b - 12 = 0.

Nah, begitulah cara mencari persmaan lingkaran yang melalui tiga titik. Mudah bukan?